Треугольная пирамида с трансформациями

Трансформируемое телескопическое геометрическое учебно-обучающее пособие по планиметрии и стереометрии "Треугольнная пирамида"

Из этой модели можно получить все виды треугольной пирамиды. Прежде чем начать работать с моделями, следует знать, что для манипуляций и превращений нужно последовательно работать только с каждой из сторон в отдельности. Особый интерес представляет пирамида, которая демонстрирует теорему о трех перпендикулярах.
SB⊥(ABC)
AC⊥CS следует AC⊥BC и AC⊥BC следует AC⊥CS 

При помощи этого типа моделей можно решать многочисленные задачи. Из этой модели можно получить все виды четырехугольников и треугольник, для пострения которого надо сделать следующее: все стороны основания пирамиды A, B и C надлежит вытянуть, а ребра SA, SB и SC уменьшать в длине до тех пор пока они уместятся в плоскости тругольника ABC.

Построение сечений

Для построения сечений в комплект входят вспомогательные стержни, которые позволяет получить любые сечения. В этом нетрудно убедиться, если замечаем, что стержни могут закрепляться в любых комбинациях. В треугольной пирамиде с помощью вспомогательных стержней, как показано на рисунке, демонстрируем то сечение, которое представляет четырехугольник. Между прочим, с их помощью можно построить высоту, медиану, биссектрису и т.д. Вспомогательные стержни могут служить также для замены вышедших из строя стержней моделей. 

Решение задач.

До того, как перейти к решению задач, надо отметить, что модели незаменимы для получения чертежей пространственных тел на фоне доски. Держа модель соответствующим образом у доски, можно начертить и себя так, как видно. Для решения задач, касающихся треугольной пирамиды надо использовать четырехугольную пирамиду, которая благодаря тому, что модифицируется в различные треугольные пирамиды, дает возможность демонстрировать решения конкретных задач.

Задача 1.
Имеем треугольную пирамиду с равными ребрами, основанием которой является прямоугольный треугольник.
Высота такой пирамиды проходит через центр описанной окружности. Центр окружности находится в середине гипотенузы.

Задача 2.
 Имеем пирамиду с ребрами а, b, c, которые взаимно перпендикулярны. Надо найти объем пирамиды.
Задача получает простое решение, если перевернуть пирамиду. Как видим получилось пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, где известны длины катетов основания (а основание это прямоугольный треугольник) и длина высоты. Таким образом, объем пирамиды равен  а b c / 6.
С помощью наших моделей превосходным образом демонстрируется возможность получения чертежей пространственных геометрических тел на доске.

Задача 3.
Доказать, что в любую пирамиду можно вписать сферу.
Это одна из самых труднейших задач стереометрии.
Проводим сечение, которое проходит через биссектрису двухгранного угла CABD. То же самое с другим двухгранным углом ВАСD. Она пересекаются по прямой АН. Если проведем третье сечение, то оно пересечется со вторым сечением по прямой СМ. Точка пересечения СН и СМ является центром вписанной сферы, т.к. равноудалена от всех граней.

Share this post